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title: 树
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category: 计算机基础
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- 数据结构
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树就是一种类似现实生活中的树的数据结构（倒置的树）。任何一颗非空树只有一个根节点。
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一棵树具有以下特点：
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1. 一棵树中的任意两个结点有且仅有唯一的一条路径连通。
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2. 一棵树如果有 n 个结点，那么它一定恰好有 n-1 条边。
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3. 一棵树不包含回路。
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下图就是一颗树，并且是一颗二叉树。
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如上图所示，通过上面这张图说明一下树中的常用概念：
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- **节点** ：树中的每个元素都可以统称为节点。
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- **根节点** ：顶层节点或者说没有父节点的节点。上图中 A 节点就是根节点。
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- **父节点** ：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点。上图中的 B 节点是 D 节点、E 节点的父节点。
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- **子节点** ：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点。上图中 D 节点、E 节点是 B 节点的子节点。
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- **兄弟节点** ：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点。上图中 D 节点、E 节点的共同父节点是 B 节点，故 D 和 E 为兄弟节点。
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- **叶子节点** ：没有子节点的节点。上图中的 D、F、H、I 都是叶子节点。
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- **节点的高度** ：该节点到叶子节点的最长路径所包含的边数。
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- **节点的深度** ：根节点到该节点的路径所包含的边数
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- **节点的层数** ：节点的深度+1。
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- **树的高度** ：根节点的高度。
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> 关于树的深度和高度的定义可以看 stackoverflow 上的这个问题：[What is the difference between tree depth and height?](https://stackoverflow.com/questions/2603692/what-is-the-difference-between-tree-depth-and-height) 。
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## 二叉树的分类
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**二叉树**（Binary tree）是每个节点最多只有两个分支（即不存在分支度大于 2 的节点）的树结构。
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**二叉树** 的分支通常被称作“**左子树**”或“**右子树**”。并且，**二叉树** 的分支具有左右次序，不能随意颠倒。
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**二叉树** 的第 i 层至多拥有 `2^(i-1)` 个节点，深度为 k 的二叉树至多总共有 `2^(k+1)-1` 个节点（满二叉树的情况），至少有 2^(k) 个节点（关于节点的深度的定义国内争议比较多，我个人比较认可维基百科对[节点深度的定义](<https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%91_(%E6%95%B0%E6%8D%AE%E7%BB%93%E6%9E%84)#/%E6%9C%AF%E8%AF%AD>)）。
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### 满二叉树
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一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是 **满二叉树**。也就是说，如果一个二叉树的层数为 K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是 **满二叉树**。如下图所示：
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### 完全二叉树
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除最后一层外，若其余层都是满的，并且最后一层或者是满的，或者是在右边缺少连续若干节点，则这个二叉树就是 **完全二叉树** 。
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大家可以想象为一棵树从根结点开始扩展，扩展完左子节点才能开始扩展右子节点，每扩展完一层，才能继续扩展下一层。如下图所示：
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完全二叉树有一个很好的性质：**父结点和子节点的序号有着对应关系。**
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细心的小伙伴可能发现了，当根节点的值为 1 的情况下，若父结点的序号是 i，那么左子节点的序号就是 2i，右子节点的序号是 2i+1。这个性质使得完全二叉树利用数组存储时可以极大地节省空间，以及利用序号找到某个节点的父结点和子节点，后续二叉树的存储会详细介绍。
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### 平衡二叉树
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**平衡二叉树** 是一棵二叉排序树，且具有以下性质：
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1. 可以是一棵空树
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2. 如果不是空树，它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。
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平衡二叉树的常用实现方法有 **红黑树**、**AVL 树**、**替罪羊树**、**加权平衡树**、**伸展树** 等。
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在给大家展示平衡二叉树之前，先给大家看一棵树：
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**你管这玩意儿叫树？？？**
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没错，这玩意儿还真叫树，只不过这棵树已经退化为一个链表了，我们管它叫 **斜树**。
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**如果这样，那我为啥不直接用链表呢?**
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谁说不是呢？
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二叉树相比于链表，由于父子节点以及兄弟节点之间往往具有某种特殊的关系，这种关系使得我们在树中对数据进行**搜索**和**修改**时，相对于链表更加快捷便利。
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但是，如果二叉树退化为一个链表了，那么那么树所具有的优秀性质就难以表现出来，效率也会大打折，为了避免这样的情况，我们希望每个做 “家长”（父结点） 的，都 **一碗水端平**，分给左儿子和分给右儿子的尽可能一样多，相差最多不超过一层，如下图所示：
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## 二叉树的存储
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二叉树的存储主要分为 **链式存储** 和 **顺序存储** 两种：
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### 链式存储
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和链表类似，二叉树的链式存储依靠指针将各个节点串联起来，不需要连续的存储空间。
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每个节点包括三个属性：
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- 数据 data。data 不一定是单一的数据，根据不同情况，可以是多个具有不同类型的数据。
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- 左节点指针 left
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- 右节点指针 right。
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可是 JAVA 没有指针啊！
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那就直接引用对象呗（别问我对象哪里找）
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### 顺序存储
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顺序存储就是利用数组进行存储，数组中的每一个位置仅存储节点的 data，不存储左右子节点的指针，子节点的索引通过数组下标完成。根结点的序号为 1，对于每个节点 Node，假设它存储在数组中下标为 i 的位置，那么它的左子节点就存储在 2i 的位置，它的右子节点存储在下标为 2i+1 的位置。
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一棵完全二叉树的数组顺序存储如下图所示：
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大家可以试着填写一下存储如下二叉树的数组，比较一下和完全二叉树的顺序存储有何区别：
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可以看到，如果我们要存储的二叉树不是完全二叉树，在数组中就会出现空隙，导致内存利用率降低
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## 二叉树的遍历
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### 先序遍历
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二叉树的先序遍历，就是先输出根结点，再遍历左子树，最后遍历右子树，遍历左子树和右子树的时候，同样遵循先序遍历的规则，也就是说，我们可以递归实现先序遍历。
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代码如下：
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```java
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public void preOrder(TreeNode root){
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if(root == null){
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return;
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}
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system.out.println(root.data);
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preOrder(root.left);
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preOrder(root.right);
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}
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```
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### 中序遍历
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二叉树的中序遍历，就是先递归中序遍历左子树，再输出根结点的值，再递归中序遍历右子树，大家可以想象成一巴掌把树压扁，父结点被拍到了左子节点和右子节点的中间，如下图所示：
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代码如下：
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```java
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public void inOrder(TreeNode root){
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if(root == null){
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return;
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}
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inOrder(root.left);
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system.out.println(root.data);
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inOrder(root.right);
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||
}
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```
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### 后序遍历
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二叉树的后序遍历，就是先递归后序遍历左子树，再递归后序遍历右子树，最后输出根结点的值
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代码如下：
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```java
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public void postOrder(TreeNode root){
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||
if(root == null){
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||
return;
|
||
}
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||
postOrder(root.left);
|
||
postOrder(root.right);
|
||
system.out.println(root.data);
|
||
}
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||
```
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