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# N皇后
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[51. N皇后](https://leetcode-cn.com/problems/n-queens/)
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### 题目描述
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> n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
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上图为 8 皇后问题的一种解法。
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给定一个整数 n，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。
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每一种解法包含一个明确的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。
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示例：
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输入: 4
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输出: [
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[".Q..", // 解法 1
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"...Q",
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"Q...",
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"..Q."],
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["..Q.", // 解法 2
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"Q...",
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"...Q",
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".Q.."]
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]
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解释: 4 皇后问题存在两个不同的解法。
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### 问题分析
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约束条件为每个棋子所在的行、列、对角线都不能有另一个棋子。
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使用一维数组表示一种解法，下标（index）表示行，值（value）表示该行的Q（皇后）在哪一列。
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每行只存储一个元素，然后递归到下一行，这样就不用判断行了，只需要判断列和对角线。
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### Solution1
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当result[row] = column时，即row行的棋子在column列。
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对于[0, row-1]的任意一行（i 行），若 row 行的棋子和 i 行的棋子在同一列，则有result[i] == column;
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若 row 行的棋子和 i 行的棋子在同一对角线，等腰直角三角形两直角边相等，即 row - i == Math.abs(result[i] - column)
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布尔类型变量 isValid 的作用是剪枝，减少不必要的递归。
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```
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public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
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// 下标代表行，值代表列。如result[0] = 3 表示第1行的Q在第3列
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int[] result = new int[n];
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List<List<String>> resultList = new LinkedList<>();
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dfs(resultList, result, 0, n);
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return resultList;
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}
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void dfs(List<List<String>> resultList, int[] result, int row, int n) {
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// 递归终止条件
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if (row == n) {
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List<String> list = new LinkedList<>();
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for (int x = 0; x < n; ++x) {
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StringBuilder sb = new StringBuilder();
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for (int y = 0; y < n; ++y)
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sb.append(result[x] == y ? "Q" : ".");
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list.add(sb.toString());
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}
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resultList.add(list);
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return;
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}
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for (int column = 0; column < n; ++column) {
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boolean isValid = true;
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result[row] = column;
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/*
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* 逐行往下考察每一行。同列，result[i] == column
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* 同对角线，row - i == Math.abs(result[i] - column)
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*/
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for (int i = row - 1; i >= 0; --i) {
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if (result[i] == column || row - i == Math.abs(result[i] - column)) {
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isValid = false;
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break;
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}
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}
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if (isValid) dfs(resultList, result, row + 1, n);
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}
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}
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```
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### Solution2
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使用LinkedList表示一种解法，下标（index）表示行，值（value）表示该行的Q（皇后）在哪一列。
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解法二和解法一的不同在于，相同列以及相同对角线的校验。
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将对角线抽象成【一次函数】这个简单的数学模型，根据一次函数的截距是常量这一特性进行校验。
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这里，我将右上-左下对角线，简称为“\”对角线；左上-右下对角线简称为“/”对角线。
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“/”对角线斜率为1，对应方程为y = x + b，其中b为截距。
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对于线上任意一点，均有y - x = b，即row - i = b;
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定义一个布尔类型数组anti_diag，将b作为下标，当anti_diag[b] = true时，表示相应对角线上已经放置棋子。
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但row - i有可能为负数，负数不能作为数组下标，row - i 的最小值为-n（当row = 0，i = n时），可以加上n作为数组下标，即将row -i + n 作为数组下标。
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row - i + n 的最大值为 2n（当row = n，i = 0时），故anti_diag的容量设置为 2n 即可。
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“\”对角线斜率为-1，对应方程为y = -x + b，其中b为截距。
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对于线上任意一点，均有y + x = b，即row + i = b;
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同理，定义数组main_diag，将b作为下标，当main_diag[row + i] = true时，表示相应对角线上已经放置棋子。
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有了两个校验对角线的数组，再来定义一个用于校验列的数组cols，这个太简单啦，不解释。
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**解法二时间复杂度为O(n!)，在校验相同列和相同对角线时，引入三个布尔类型数组进行判断。相比解法一，少了一层循环，用空间换时间。**
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```
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List<List<String>> resultList = new LinkedList<>();
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public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
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boolean[] cols = new boolean[n];
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boolean[] main_diag = new boolean[2 * n];
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boolean[] anti_diag = new boolean[2 * n];
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LinkedList<Integer> result = new LinkedList<>();
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dfs(result, 0, cols, main_diag, anti_diag, n);
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return resultList;
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}
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void dfs(LinkedList<Integer> result, int row, boolean[] cols, boolean[] main_diag, boolean[] anti_diag, int n) {
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if (row == n) {
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List<String> list = new LinkedList<>();
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for (int x = 0; x < n; ++x) {
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StringBuilder sb = new StringBuilder();
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for (int y = 0; y < n; ++y)
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sb.append(result.get(x) == y ? "Q" : ".");
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list.add(sb.toString());
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}
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resultList.add(list);
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return;
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}
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for (int i = 0; i < n; ++i) {
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if (cols[i] || main_diag[row + i] || anti_diag[row - i + n])
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continue;
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result.add(i);
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cols[i] = true;
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main_diag[row + i] = true;
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anti_diag[row - i + n] = true;
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dfs(result, row + 1, cols, main_diag, anti_diag, n);
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result.removeLast();
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cols[i] = false;
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main_diag[row + i] = false;
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||
anti_diag[row - i + n] = false;
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}
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}
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