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Add 回溯算法经典案例之N皇后问题

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+- [回溯算法经典案例之N皇后问题](./dataStructures-algorithms/Backtracking-NQueens.md)
 
 ## 数据库
 

docs/dataStructures-algorithms/Backtracking-NQueens.md

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+# N皇后
+[51. N皇后](https://leetcode-cn.com/problems/n-queens/)
+### 题目描述
+> n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
+>
+![ANUzjA.png](https://s2.ax1x.com/2019/03/26/ANUzjA.png)
+>
+上图为 8 皇后问题的一种解法。
+>
+给定一个整数 n，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。
+>
+每一种解法包含一个明确的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。
+
+示例：
+
+```
+输入: 4
+输出: [
+ [".Q..",  // 解法 1
+  "...Q",
+  "Q...",
+  "..Q."],
+
+ ["..Q.",  // 解法 2
+  "Q...",
+  "...Q",
+  ".Q.."]
+]
+解释: 4 皇后问题存在两个不同的解法。
+```
+
+### 问题分析
+约束条件为每个棋子所在的行、列、对角线都不能有另一个棋子。
+
+使用一维数组表示一种解法，下标（index）表示行，值（value）表示该行的Q（皇后）在哪一列。  
+每行只存储一个元素，然后递归到下一行，这样就不用判断行了，只需要判断列和对角线。
+### Solution1
+当result[row] = column时，即row行的棋子在column列。
+
+对于[0, row-1]的任意一行（i 行），若 row 行的棋子和 i 行的棋子在同一列，则有result[i] == column;  
+若 row 行的棋子和 i 行的棋子在同一对角线，等腰直角三角形两直角边相等，即 row - i == Math.abs(result[i] - column)
+
+布尔类型变量 isValid 的作用是剪枝，减少不必要的递归。
+```
+public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
+	// 下标代表行，值代表列。如result[0] = 3 表示第1行的Q在第3列
+	int[] result = new int[n];
+	List<List<String>> resultList = new LinkedList<>();
+	dfs(resultList, result, 0, n);
+	return resultList;
+}
+
+void dfs(List<List<String>> resultList, int[] result, int row, int n) {
+    // 递归终止条件
+	if (row == n) {
+		List<String> list = new LinkedList<>();
+		for (int x = 0; x < n; ++x) {
+			StringBuilder sb = new StringBuilder();
+			for (int y = 0; y < n; ++y)
+				sb.append(result[x] == y ? "Q" : ".");
+			list.add(sb.toString());
+		}
+		resultList.add(list);
+		return;
+	}
+	for (int column = 0; column < n; ++column) {
+		boolean isValid = true;
+		result[row] = column;
+		/*
+		 * 逐行往下考察每一行。同列，result[i] == column
+		 * 同对角线，row - i == Math.abs(result[i] - column)
+		 */
+		for (int i = row - 1; i >= 0; --i) {
+			if (result[i] == column || row - i == Math.abs(result[i] - column)) {
+				isValid = false;
+				break;
+			}
+		}
+		if (isValid) dfs(resultList, result, row + 1, n);
+	}
+}
+```
+### Solution2
+使用LinkedList表示一种解法，下标（index）表示行，值（value）表示该行的Q（皇后）在哪一列。
+
+解法二和解法一的不同在于，相同列以及相同对角线的校验。
+将对角线抽象成【一次函数】这个简单的数学模型，根据一次函数的截距是常量这一特性进行校验。
+
+这里，我将右上-左下对角线，简称为“\”对角线；左上-右下对角线简称为“/”对角线。
+
+“/”对角线斜率为1，对应方程为y = x + b，其中b为截距。  
+对于线上任意一点，均有y - x = b，即row - i = b;  
+定义一个布尔类型数组anti_diag，将b作为下标，当anti_diag[b] = true时，表示相应对角线上已经放置棋子。  
+但row - i有可能为负数，负数不能作为数组下标，row - i 的最小值为-n（当row = 0，i = n时），可以加上n作为数组下标，即将row -i + n 作为数组下标。  
+row - i + n 的最大值为 2n（当row = n，i = 0时），故anti_diag的容量设置为 2n 即可。
+
+![ANXG79.png](https://s2.ax1x.com/2019/03/26/ANXG79.png)
+
+“\”对角线斜率为-1，对应方程为y = -x + b，其中b为截距。  
+对于线上任意一点，均有y + x = b，即row + i = b;  
+同理，定义数组main_diag，将b作为下标，当main_diag[row + i] = true时，表示相应对角线上已经放置棋子。
+
+有了两个校验对角线的数组，再来定义一个用于校验列的数组cols，这个太简单啦，不解释。
+
+**解法二时间复杂度为O(n!)，在校验相同列和相同对角线时，引入三个布尔类型数组进行判断。相比解法一，少了一层循环，用空间换时间。**
+
+```
+List<List<String>> resultList = new LinkedList<>();
+
+public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
+	boolean[] cols = new boolean[n];
+	boolean[] main_diag = new boolean[2 * n];
+	boolean[] anti_diag = new boolean[2 * n];
+	LinkedList<Integer> result = new LinkedList<>();
+	dfs(result, 0, cols, main_diag, anti_diag, n);
+	return resultList;
+}
+
+void dfs(LinkedList<Integer> result, int row, boolean[] cols, boolean[] main_diag, boolean[] anti_diag, int n) {
+	if (row == n) {
+		List<String> list = new LinkedList<>();
+		for (int x = 0; x < n; ++x) {
+			StringBuilder sb = new StringBuilder();
+			for (int y = 0; y < n; ++y)
+				sb.append(result.get(x) == y ? "Q" : ".");
+			list.add(sb.toString());
+		}
+		resultList.add(list);
+		return;
+	}
+	for (int i = 0; i < n; ++i) {
+		if (cols[i] || main_diag[row + i] || anti_diag[row - i + n])
+			continue;
+		result.add(i);
+		cols[i] = true;
+		main_diag[row + i] = true;
+		anti_diag[row - i + n] = true;
+		dfs(result, row + 1, cols, main_diag, anti_diag, n);
+		result.removeLast();
+		cols[i] = false;
+		main_diag[row + i] = false;
+		anti_diag[row - i + n] = false;
+	}
+}
+```